Para poder empezar a estudiar las bases de la computación cuántica es necesario familiarizarse con la notación propia de la mecánica cuántica, llamada notación de Dirac. Se debé aclarar que estas notas las escribo para repasar estos conceptos, por lo que es posible que no sean fáciles de entender o seguir sin algo de familiaridad con el álgebra lineal. Para un buen aprendizaje de los conceptos básicos se puede consultar [2][3].

+ Producto interno y bases ortonormales

- Definición 1: Sean \(\mathbb{C}\) el campo de los números complejos, \(\mathbb{H}\) un espacio vectorial definido sobre \(\mathbb{C}\), y sea \(\langle-,-\rangle: \mathbb{H} \times \mathbb{H} \to \mathbb{C}\) una función tal que para todo \(v, w, u \in \mathbb{H}\) y para todo \(\alpha \in \mathbb{C}\) cumplen qué:

1. \(\langle v, w \rangle = \overline{\langle w, v \rangle}\)
2. \(\langle v, \alpha w + u \rangle = \alpha \langle v, w \rangle + \langle v, u \rangle\)
3. \(\langle v, v \rangle > 0\) para todo \(v \neq 0\)

A la función \(\langle-, -\rangle\) le decimos un “producto interno” y al espacio vectorial \(\mathbb{H}\) equipado con este producto le diremos un “espacio vectorial con un producto interno”.

Recordemos que la propiedad 3 esta bien definida, pues \(\langle v, v \rangle = \overline{\langle v, v \rangle}\) lo cual implica que \(\langle v, v \rangle \in \mathbb{R}\) y por tanto la relación de la expresión se toma con respecto a la relación de orden típica de los reales.

- Definición 2: Sea \(\mathbb{H}\) un espacio vectorial con un producto interno \(\langle-,-\rangle\). Entonces definimos la norma de \(\mathbb{H}\) como la función \(|| - ||: \mathbb{H} \to \mathbb{R}^{\geq 0}\) definida como \(||x|| = \sqrt{\langle x,x\rangle}\)

No es difícil probar, a partir de las definiciones 1 y 2, que efectivamente esta función es una norma en el sentido mas general. A partir de esta definición podemos definir una métrica y de ahí fijar una topología métrica para ese espacio vectorial. Cuando este espacio es completo (esto es que toda sucesión de Cauchy es convergente) respecto a esa topología decimos que \(\mathbb{H}\) es un espacio de Hilbert.

Usualmente en los libros de física no se habla de la convergencia de sucesiones de Cauchy si no de la resolución de la identidad¹ para el operador identidad. Supongo que la razón para ello es que la resolución de la identidad es una “definición” operativa, mientras que la convergencia de las sucesiones de Cauchy es un elemento técnico que no aporta mucho a la hora de realizar cálculos y por tanto no es tan importante a la hora de aprender mecánica cuántica desde una perspectiva física.

- Definición 3: Sea \(B = \{ v_{i} \}_{i \in I}\) un conjunto de vectores de \(\mathbb{H}\). Llamamos al espacio generado por \(B\), denotado por \(\langle B \rangle_{G}\), como el conjunto posible de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores de \(B\). Si \(\langle B \rangle_{G} = \mathbb{H}\) decimos que \(B\) genera a \(\mathbb{H}\). Y ademas si \(B\) es linealmente independiente, entonces \(B\) es una base de \(\mathbb{H}\).

- Proposición 1: \(\langle B \rangle_{G}\) es un subespacio vectorial de \(\mathbb{H}\).

- Definición 4: Sean \(v, w \in \mathbb{H}\). Si \(\langle v, w \rangle = 0\), decimos que \(v\) y \(w\) “son ortogonales respecto al producto interno \(\langle -, - \rangle\).” Si el producto interno al cual se refiere es claro, entonces decimos simplemente “son ortogonales.” Sea \(B\) el conjunto de la definición 3, si los vectores de \(B\) son ortogonales entre si y ademas \(B\) es una base, entonces decimos que \(B\) es una base ortogonal. Y si la normal de los vectores es 1, decimos que \(B\) es una base ortonormal.

- Definición 5: Sea \(B = \{v_{i}\}_{i \in I}\) una base ortonormal de \(\mathbb{H}\). Y sea \(v \in \mathbb{H}\). Claramente existen \(\alpha_{i} \in \mathbb{H}\) tales que \(v = \sum_{i \in I} \alpha_{i} v_{i}\). Ha estos coeficientes le llamamos la representación de \(v\) en términos de la base \(B\), y usualmente se escribé como un vector columna denotado como \(|v|_{B}\), esto es:

\[ |v|_{B} = \begin{bmatrix} \alpha_{1} \\\ \alpha_{2} \\\ \vdots \\\ \alpha_{n} \end{bmatrix} \]

- Proposición 2: Sea \(B = \{v_{i}\}_{i \in I}\) una base ortonormal de \(\mathbb{H}\), entonces para todo \(v \in \mathbb{H}\) se cumple \(v = \sum_{i \in I} \langle v_{i}, v \rangle v_{i}\). O sea los \(\alpha_{i}\) de la definición 5 son \(\alpha_{i} = \langle v_{i}, v \rangle\).

+ Representación de operadores

En la definición 5 establecimos que las matrices columna corresponden a vectores, y sus entradas depende de la base en la cual estamos trabajando. Esta definición se puede extender a cualquier función de una o varias variables que sea lineal o multilineal. Por el momento nos restringiremos a operadores lineales.

- Definción 6: Sean \(B = \{v_{i}\}_{i \in I}\) y \(B' = \{w_{i}\}_{i \in I}\) bases ortonormales de \(\mathbb{H}\). Y sea \(\hat{T}\) un operador lineal en \(\mathbb{H}\). Definimos la matriz \(|\hat{T}|_{BB'}\) como la matriz de entradas \(t_{ij}\) que cumplen la relación \(\hat{T}v_{j} = \sum_{i \in I} t_{ij} w_{i}\). Ha esta matriz la llamamos la matriz de representación de \(\hat{T}\) en términos de las bases \(B\) y \(B'\). Cuando las bases \(B\) y \(B'\) son las mismas escribimos \(|\hat{T}|_{B}\) en ves de \(|\hat{T}|_{BB'}\).

Por tanto la representación de la aplicación del operador \(\hat{T}\) sobre un vector \(v\), o sea \(\hat{T}v = w\), queda representada como \(|\hat{T}|_{BB'}|v|_{B} = |w|_{B'}\), o cuando la base es la misma, \(|\hat{T}|_{B}|v|_{B} = |w|_{B}\).

+ Espacio dual y notación de Dirac

En mecánica cuántica nuestro espacio de configuración, llamado espacio de estado, es un espacio de Hilbert. En el caso de la computación cuántica la mayoría de nuestros espacios de Hilbert son de dimensión finita, lo cual facilita algunas cosas. Por ejemplo no tenemos que tener en cuenta la diferencia entre dual algebráico y dual topológico, pues al ser \(\mathbb{H}\) un espacio de dimensión finita toda transformación lineal es continua y por tanto el dual algebraico y el dual topológico son el mismo.

- Definición 7: Sea \(\mathbb{H}\) un espacio de Hilbert. Definimos su dual algebraico como el conjunto de todas las transformaciones lineales que van de \(\mathbb{H}\) a \(\mathbb{C}\), y lo denotamos como \(\mathbb{H}^{*}\).

- Teorema 3 “De representación de Riesz”: Sea \(\mathbb{H}\) un espacio de Hilbert. Y sea \(f \in \mathbb{H}^{*}\), entonces existe un único elemento \(v \in \mathbb{H}\) tal que para todo \(w \in \mathbb{H}\), \(f(w) = \langle v, w \rangle\), mas aún \(||f||_{\mathbb{H}^{*}} = ||v||_{\mathbb{H}}\).

De lo anterior podemos ver que en espacios de Hilbert cada vector dual esta asociado a un vector en \(\mathbb{H}\) y por tanto esta transformación lineal se puede representar a través del producto interno, en notación: \(f_{v}(-) = \langle v, - \rangle\). Ha esté tipo de función también se le llama un funcional lineal.

La notación de Dirac se justifica a partir del teorema de representación. Los vectores en el espacio de Hilbert los denotamos como \(| \psi \rangle\), y al vector dual asociado a este se denota como \(\langle \psi |\). De esta manera el producto interno de dos vectores queda representado por medio de la aplicación del vector dual sobre el vector, esto es \(\langle v, w \rangle = \langle v | w \rangle\).

Una pregunta natural es: ¿Cual es la representación de los vectores de \(\mathbb{H}^{*}\)?.

Por la misma definición 5, necesitamos una base para representarla. Si tenemos que \(B = \{e_{i}\}_{i \in I}\) es una base ortonormal de \(\mathbb{H}\), podemos construir una base ortonormal para \(\mathbb{H}^{*}\) de la siguiente forma: Sea \(B^{*} = \{e^{i}\}_{i \in I}\) un subconjunto de \(\mathbb{H}^{*}\), tales que \(e^{i}(e_{j}) = \delta_{ij}\). Se puede ver que \(B^{*}\) es efectivamente una base ortonormal de \(\mathbb{H}^{*}\). A \(B^{*}\) se le dice la base dual de \(B\).

La representación de \(f\) depende del producto interno, pues este define la isometría entre \(\mathbb{H}^{*}\) y \(\mathbb{H}\), como se puede ver en la demostración del teorema de representación. Asumiendo que usamos la base dual de alguna base ortonormal \(B\) y que nuestro espacio de Hilbert es \(\mathbb{C}^{n}\) con su producto interno usual, llamado producto punto. Por tanto:

\[ |v|_{B} = \begin{bmatrix} \alpha_{1} \\\ \alpha_{2} \\\ \vdots \\\ \alpha_{n} \end{bmatrix} \] Entonces, la representación del vector dual asociado \(f_{v} \in \mathbb{H}^{*}\) es: \[ |f_{v}|_{B^{*}} = \begin{bmatrix} \overline{\alpha_{1}} \\\ \overline{\alpha_{2}} \\\ \vdots \\\ \overline{\alpha_{n}} \end{bmatrix} \]

Y como \(f_{v}(w) = \langle v, w \rangle = |f_{v}|_{B^{*}}^{T}|v|_{B}\) (recordando la definición 6, también se tiene que \(|f_{v}|_{B^{*}}^{T} = |f_{v}|_{B}\)), entonces:

\[ \langle v, w \rangle = \begin{bmatrix} \overline{\alpha_{1}} & \overline{\alpha_{2}} & \dots & \overline{\alpha_{n}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_{1} \\\ \beta_{2} \\\ \vdots \\\ \beta_{n} \end{bmatrix} \]

De esta manera si el ket \(|\psi\rangle \in \mathbb{H}\) es representado de la siguiente forma respecto a una base \(B\): \[ |\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha_{1} \\\ \alpha_{2} \\\ \vdots \\\ \alpha_{n} \end{bmatrix} \] Entonces el bra asociado al ket es: \[ \langle \psi | = \begin{bmatrix} \overline{\alpha_{1}} & \overline{\alpha_{2}} & \dots & \overline{\alpha_{n}} \end{bmatrix} \]

En otras palabras: !El bra del ket es la transpuesta del vector columna que representa a su vector dual!.

Gracias a esta representación podemos definir la siguiente operación entre kets y bras, llamada producto exterior², en términos de la multiplicación de matrices, esto es:

\[ |\phi \rangle \langle \psi | = \begin{bmatrix} \beta_{1} \\\ \beta_{2} \\\ \vdots \\\ \beta_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overline{\alpha_{1}} & \overline{\alpha_{2}} & \dots & \overline{\alpha_{n}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta_{1}\overline{\alpha_{1}} & \beta_{1}\overline{\alpha_{2}} & \dots & \beta_{1}\overline{\alpha_{n}} \\\ \beta_{2}\overline{\alpha_{1}} & \beta_{2}\overline{\alpha_{2}} & \dots & \beta_{2}\overline{\alpha_{n}} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ \beta_{n}\overline{\alpha_{1}} & \beta_{2}\overline{\alpha_{2}} & \dots & \beta_{n}\overline{\alpha_{n}} \end{bmatrix} \]

+ Bibliografía

1. Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, New York, 2010.
2. Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right. Springer, New York, 2015.
3. Sergei Treil. Linear Algebra Done Wrong. Author, Providence, 2017.
4. Eberhard Zeidler. Applied Functional Analysis. Applications to Mathematical Physics. Springer, New York, 1995.